Question

（2012•朝陽區(qū)二模）如圖，AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，弦CD與AB、BF分別相交于點E、G，過點F的切線HF與DC的延長線相交于點H，且HF=HG．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=

3

4

，BF=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質以及等腰三角形的性質首先求出∠3=∠1，進而得出∠BEG=90°即可得出AB⊥CD；
（2）連接AF，首先得出∠HGF=∠1=∠4=∠A，利用銳角三角函數(shù)得出AB即可得出半徑．

解答：（1）證明：如圖，連接OF，
∵HF是⊙O的切線，
∴∠OFH=90°．
即∠1+∠2=90°．
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF．
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1．
∵OF=OB，∴∠B=∠2．
∴∠B+∠3=90°．
∴∠BEG=90°．
∴AB⊥CD．

（2）解：如圖，連接AF，
∵AB、BF分別是⊙O的直徑和弦，
∴∠AFB=90°．
即∠2+∠4=90°．
∴∠HGF=∠1=∠4=∠A．
在Rt△AFB中，AB=

BF

sin∠A

=

3

3 4

=4．
∴⊙O的半徑長為2．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的判定與性質和銳角三角函數(shù)應用，根據(jù)已知得出∠HGF=∠1=∠4=∠A是解題關鍵．