Question

【題目】已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB＝OC.

(1)求證：△ABC是等腰三角形；

(2)判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可證得△ABC是等腰三角形；

（2）首先連接AO并延長(zhǎng)交BC于F，通過(guò)證△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上．

(1）證明：∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

∵BD、CE是△ABC的兩條高

∴∠BDC=∠CEB=90°

又∵BC=CB

∴△BDC≌△CEB（AAS）

∴∠EBC=∠DCB

∴AB=AC

∴△ABC是等腰三角形.

（2）解：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.如圖，連接AO.

∵ △BDC≌△CEB

∴BD=CE

又∵OB=OC

∴OD=OE.

又∵∠BDA=∠CEA=90°

AO=AO

∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）

∴∠DAO=∠EAO

∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.

（(2)也可用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，更簡(jiǎn)單）