Question

（2012•天門）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．
（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．
（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．
（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的

1

4

時(shí)，求線段EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質(zhì)得出

BD

DF

=

EC

DE

，進(jìn)而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）首先利用△DEF的面積等于△ABC的面積的

1

4

，求出DH的長，進(jìn)而利用S_△DEF的值求出EF即可．

解答：（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴

BD

DF

=

EC

DE

．
∵BD=CD，
∴

CD

DF

=

EC

DE

．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=

1

2

BC=6．
在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²，
∴AD=8
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×12×8=48．
S_△DEF=

1

4

S_△ABC=

1

4

×48=12．
又∵

1

2

AD•BD=

1

2

AB•DH，
∴DH=

AD•BD

AB

=

8×6

10

=

24

5

，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD   
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=

24

5

．
∵S_△DEF=

1

2

×EF×DG=12，
∴EF=

12

1 2 DG

=5．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及三角形面積計(jì)算，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定得出對應(yīng)用邊與對應(yīng)角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．