Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF．

（1）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求CE的長（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（6，0），B（0，8）．

∴OA=6，OB=8．

∴AB=10，

∵∠CEB=∠AOB=90°，

又∵∠OBA=∠EBC，

∴△BCE∽△BAO，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ﹣ m

（2）

解：∵m=3，

∴BC=8﹣m=5，CE= ﹣ m=3．

∴BE=4，

∴AE=AB﹣BE=6．

∵點(diǎn)F落在y軸上（如圖2）．

∴DE∥BO，

∴△EDA∽△BOA，

∴ = 即 = ．

∴OD= ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，0）

（3）

解：取CE的中點(diǎn)P，過P作PG⊥y軸于點(diǎn)G．

則CP= CE= ﹣ m．

（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，

①當(dāng)0＜m＜8時(shí)，如圖3．易證∠GCP=∠BAO，

∴cos∠GCP=cos∠BAO= ，

∴CG=CPcos∠GCP= （ ﹣ m）= ﹣ m．

∴OG=OC+CG=m+ ﹣ m= m+ ．

根據(jù)題意得，得：OG=CP，

∴ m+ = ﹣ m，

解得：m= ；

②當(dāng)m≥8時(shí)，OG＞CP，顯然不存在滿足條件的m的值．

（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合（如圖4）．

（Ⅲ）當(dāng)m＜0時(shí)，

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，（如圖5），

易證△COA∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

解得：m=﹣ ．

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，（如圖6）．

OG=OC﹣CG=﹣m﹣（ ﹣ m）

=﹣ m﹣ ．

由題意得：OG=CP，

∴﹣ m﹣ = ﹣ m．

解得m=﹣ ．

綜上所述，m的值是 或0或﹣ 或﹣ ．

【解析】（1）首先證明△BCE∽△BAO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得；（2）證明△EDA∽△BOA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得；（3）分m＞0，m=0和m＜0三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)m=0時(shí)，一定成立，當(dāng)m＞0時(shí)，分0＜m＜8和m＞8兩種情況，利用三角函數(shù)的定義即可求解．當(dāng)m＜0時(shí)，分點(diǎn)E與點(diǎn)A重合和點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論．