【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A(6,0),B(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m),過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接CD,DE,以CD,DE為邊作CDEF.
(1)當(dāng)0<m<8時(shí),求CE的長(用含m的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)m=3時(shí),是否存在點(diǎn)D,使CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,若存在唯一的位置,使得CDEF為矩形,請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值.
【答案】
(1)
解:∵A(6,0),B(0,8).
∴OA=6,OB=8.
∴AB=10,
∵∠CEB=∠AOB=90°,
又∵∠OBA=∠EBC,
∴△BCE∽△BAO,
∴ = ,即 = ,
∴CE= ﹣ m
(2)
解:∵m=3,
∴BC=8﹣m=5,CE= ﹣ m=3.
∴BE=4,
∴AE=AB﹣BE=6.
∵點(diǎn)F落在y軸上(如圖2).
∴DE∥BO,
∴△EDA∽△BOA,
∴ = 即 = .
∴OD= ,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為( ,0)
(3)
解:取CE的中點(diǎn)P,過P作PG⊥y軸于點(diǎn)G.
則CP= CE= ﹣ m.
(Ⅰ)當(dāng)m>0時(shí),
①當(dāng)0<m<8時(shí),如圖3.易證∠GCP=∠BAO,
∴cos∠GCP=cos∠BAO= ,
∴CG=CPcos∠GCP= ( ﹣ m)= ﹣ m.
∴OG=OC+CG=m+ ﹣ m= m+ .
根據(jù)題意得,得:OG=CP,
∴ m+ = ﹣ m,
解得:m= ;
②當(dāng)m≥8時(shí),OG>CP,顯然不存在滿足條件的m的值.
(Ⅱ)當(dāng)m=0時(shí),即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合(如圖4).
(Ⅲ)當(dāng)m<0時(shí),
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí),(如圖5),
易證△COA∽△AOB,
∴ = ,即 = ,
解得:m=﹣ .
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí),(如圖6).
OG=OC﹣CG=﹣m﹣( ﹣ m)
=﹣ m﹣ .
由題意得:OG=CP,
∴﹣ m﹣ = ﹣ m.
解得m=﹣ .
綜上所述,m的值是 或0或﹣ 或﹣ .
【解析】(1)首先證明△BCE∽△BAO,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得;(2)證明△EDA∽△BOA,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得;(3)分m>0,m=0和m<0三種情況進(jìn)行討論,當(dāng)m=0時(shí),一定成立,當(dāng)m>0時(shí),分0<m<8和m>8兩種情況,利用三角函數(shù)的定義即可求解.當(dāng)m<0時(shí),分點(diǎn)E與點(diǎn)A重合和點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí),兩種情況進(jìn)行討論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x+4,在直線l上取點(diǎn)B1,過B1分別向x軸,y軸作垂線,交x軸于A1,交y軸于C1,使四邊形OA1B1C1為正方形;在直線l上取點(diǎn)B2,過B2分別向x軸,A1B1作垂線,交x軸于A2,交A1B1于C2,使四邊形A1A2B2C2為正方形;按此方法在直線l上順次取點(diǎn)B3,B4,…,Bn,依次作正方形A2A3B3C3,A3A4B4C4,…,An﹣1AnBnCn,則A3的坐標(biāo)為___,B5的坐標(biāo)為___.
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【題目】如圖,透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒,此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁,且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處,則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是多少?
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【題目】如圖1所示,已知y= (x>0)圖象上一點(diǎn)P,PA⊥x軸于點(diǎn)A(a,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,b)(b>0),動(dòng)點(diǎn)M是y軸正半軸上B點(diǎn)上方的點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)N在射線AP上,過點(diǎn)B作AB的垂線,交射線AP于點(diǎn)D,交直線MN于點(diǎn)Q連接AQ,取AQ的中點(diǎn)為C.
(1)如圖2,連接BP,求△PAB的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí),若四邊形BQNC是菱形,面積為2 ,求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD上時(shí),且a=3,b=1,若以點(diǎn)B,C,N,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求這個(gè)平行四邊形的周長.
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【題目】如圖,拋物線y=a(x﹣1)2+4與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D,連接BD,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0)
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求梯形COBD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,8),點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)若反比例函數(shù)y= 圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn),求a的值;
(2)若OQ垂直平分AP,求a的值;
(3)當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),是否存在a使△OPQ為直角三角形?若存在,求出a的值,若不存在請(qǐng)說明理由;
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【題目】我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示,為了綠化環(huán)境,學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.
(1)求出空地ABCD的面積.
(2)若每種植1平方米草皮需要200元,問總共需投入多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位同學(xué)在操場上互相傳球,假設(shè)他們相互間傳球是等可能的,并且由甲首先開始傳球.
(1)經(jīng)過2次傳球后,球仍回到甲手中的概率是;
(2)請(qǐng)用列舉法(畫樹狀圖或列表)求經(jīng)過3次傳球后,球仍回到甲手中的概率;
(3)猜想并直接寫出結(jié)論:經(jīng)過n次傳球后,球傳到甲、乙這兩位同學(xué)手中的概率:P(球傳到甲手中)和P(球傳到乙手中)的大小關(guān)系.
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【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC.問:此時(shí)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說明理由.
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為 (直接寫出結(jié)果).
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù).
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