Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．

（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為 （直接寫出結果）．

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，求∠AOM﹣∠NOC的度數．

Answer 1

【答案】（1）ON平分∠AOC，理由見解析；（2）10或40；（3）30°．

【解析】

試題分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠RON=30°，即旋轉60°或240°時ON平分∠AOC，據此求解；

（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．

解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：

設ON的反向延長線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（對頂角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC．

（2）∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=∠COD=30°，

即旋轉60°時ON平分∠AOC，

由題意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°．