Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，連接AO，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，且OA=OC=5，cos∠AOD=

3

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E在x軸上（異于點(diǎn)O），且S_△BCO=S_△BCE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用余弦函數(shù)求出OD的長，再利用勾股定理求出AD的長，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)S_△BCO=S_△BCE，得到

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，再求出OE的長，判斷出E點(diǎn)坐標(biāo)的位置．

解答：解：（1）∵AD⊥x軸，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，
∵cos∠AOD=

DO

AO

=

DO

5

=

3

5

∴DO=3．
∴AD=

AO2-DO2

=4．
∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，4）． 
將點(diǎn)A（3，4）代入y=

m

x

（m≠0），

m

3

=4，m=12．
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

．
∵OC=5，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-5，0），
將點(diǎn)A（3，4）和點(diǎn)C（-5，0）代入y=kx+b（k≠0）得，

3k+b=4 -5k+b=0

，
解得，

k= 1 2 b= 5 2

，
∴該一次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x+

5

2

．
（2）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵S_△BCO=S_△BCE，
∴

1

2

×OC×BH=

1

2

×CE×BH，
∴OC=CE=5．
∴OE=OC+CE=5+5=10．
又∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-10，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，熟悉待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要應(yīng)用圖象進(jìn)行解答．