Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x﹣4與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，作直線AC．

（1）如圖1，點P是直線AC下方拋物線上的一點，連結PA，PC．過點P作PD⊥AC于點D，交y軸于點M，E是射線PD上的一點，Q是x軸上的一點，F是y軸上的一點，過F作該拋物線對稱軸的垂線段，垂足為點G，連結EF，GQ．當△PAC面積最大時，求點P的坐標，并求EF+GQ+（FG+QA）的最小值；

（2）如圖2，在（1）的條件下，將△CDM繞點D旋轉得到△C'DM'，在旋轉過程中，當點C'或點M′落在y軸上（不與點M、C重合）時，將△C'DM'沿射線PD平移得到△C″D'M″，在平移過程中，平面內是否存在點N，使得四邊形OM″NC″是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P(﹣2，)，最小值為6；（2）存在，(3，-3)或(5，-5)

【解析】

（1）待定系數法求得直線AC的解析式為，運用二次函數最值求△PAC面積最大時對應的點P的坐標P(﹣2，)，作FQ′∥GQ交x軸于點Q′，在x軸上方以AQ′為斜邊作Rt△AQ′T，使∠ATQ′＝90°，∠Q′AT＝30°，得到TQ′＝AQ′，從而有：EF+GQ+（FG+QA）＝EF+FQ′+TQ′，當T、Q′、F、E四點共線時，EF+GQ+（FG+QA）的值最小；易求得最小值為6；

（2）分兩種情況：①當點C′落在y軸上時，可求得N1(3，﹣3)；②當點M′落在y軸上時，可求得N2(5，﹣5)．

解：（1）在拋物線y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝，

∴

令y＝0，得，解得x1＝﹣4，x2＝3，

∴A（﹣4，0），B（3，0）；

設直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（﹣4，0），C（0，）分別代入得，解得，

∴直線AC的解析式為，

如圖1，過點P作PH⊥x軸交直線AC于H，

設點P(m，)，H(m，)

∴＝，

∴＝＝，

∵，

∴當m＝﹣2時，S△PAC的最大值＝，此時P(﹣2，)，

∵PD⊥AC，

∴∠CDM＝∠COA＝90°，

∴tan∠ACO＝＝，

∴∠ACO＝30°，∠CMD＝∠CAO＝∠OME＝60°，

過點P作PL⊥y軸于L，∠PLM＝90°，∠MPL＝90°﹣∠CMD＝90°﹣60°＝30°，L(0，)，

∴，即：ML＝PLtan∠MPL＝2×tan30°＝，

∴，CM＝，CD＝CMsin∠CMD＝sin60°＝2

易得拋物線對稱軸為x＝，

在OQ上截取QQ′＝FG，連接Q′F，在x軸上方過A作AK交y軸于K，使∠OAK＝30°，過Q′作Q′T⊥AK于T，則TQ′＝AQ′，

∵QQ′＝FG，QQ′//FG

∴四邊形FGQQ′是平行四邊形

∴FQ′＝GQ

∴EF+GQ+(FG+QA)＝EF+FQ′+TQ′，當T、Q′、F、E四點共線時，EF+GQ+(FG+QA)的值最��；

∵∠AKO＝60°＝∠CMD

∴AK∥PM

∴此時，ET⊥PM，ET//AC，四邊形ADET是矩形

∴ET＝AD＝AC﹣CD＝8﹣2＝6

故EF+GQ+(FG+QA)的值最小值＝6．

（2）存在．∵△C'DM'沿射線PD平移得到△C″D'M″，且射線PD與x軸正方向夾角為30°，

∴平移后的△C″D′M″各頂點坐標與△C′DM′關系為：向右平移t個單位，向上平移t個單位；

①當點C′落在y軸上時，如圖2，

∵DC′＝DC，

∴∠DC′C＝∠DCC′＝30°，∠CDC′＝120°，

∴∠C′DM＝∠CDC′﹣∠CDM＝120°﹣90°＝30°.

∵∠DC′M′＝∠DCM＝30°，

∴∠C′DM＝∠DC′M′，

∴C′M′∥PM，且C′M′與PM之間的距離＝1.

∵四邊形OM″NC″是菱形，

∴ON與C″M″互相垂直平分，過點O作ON⊥PD，

∵∠CON＝90°﹣∠ODH＝30°

∴OH＝OMcos30°＝×＝4，易求O到C″M″的距離為3，

∴ON＝6，

∴N1(3，﹣3)；

②當點M′落在y軸上時，如圖3，

易知：DM＝DM′，∠DMM′＝∠DM′M＝60°，

∴△DMM′為等邊三角形，

∴∠MDM′＝60°＝∠C′M′D，

∴C′M′//PD，

∴C″M″//PD.

由①知：C″M″與PD間距離為1，∴O到C″M″的距離＝4+1＝5，

∵ON與C″M″互相垂直平分，

∴ON＝10，

∴N2(5，﹣5).

故點N的坐標為：N1(3，﹣3)，N2(5，﹣5)．