Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，OA=1，OB=3，拋物線的頂點坐標(biāo)為D（1，4）.

（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的表達(dá)式；

（3）過點D做直線DE//y軸，交x軸于點E,點P是拋物線上A、D兩點間的一個動點（點P不于A、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點G、F，當(dāng)點P運動時，EF+EG的值是否變化，如不變，試求出該值；若變化，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（-1，0），（3，0）；（2）；（3）8．

【解析】

（1）根據(jù)OA，OB的長，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得EG，EF的長，根據(jù)整式的加減，可得答案．

解：（1）由拋物線交軸于兩點（A在B的左側(cè)），且OA=1，OB=3，得A點坐標(biāo)（-1，0），B點坐標(biāo)（3，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為，

把C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

解得，

拋物線的解析式為；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

過點P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖:

設(shè)P（t，-t2+2t+3），

則PQ=-t2+2t+3，AQ=1+t，QB=3-t，

∵PQ∥EF，

∴△BEF∽△BQP

∴

∴

又∵PQ∥EG，

∴△AEG∽△AQP，

∴

∴

∴．