Question

如圖1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．
（1）求證：CE=CF．
（2）點(diǎn)E′在BC邊上，點(diǎn)F′、點(diǎn)D′在AB邊上，△ADE≌△F′D′E′，其它條件不變，如圖2所示，試猜：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的兩銳角互余以及對頂角相等，即可證得∠3=∠5，根據(jù)等角對等邊證明CE=CF；
（2）作EH⊥AC與H，△E′BD′≌△ECH得到CE=E′B，根據(jù)CE=CF，即可得到BE′=CF．

解答：解：（1）∵直角△ACF中，∠1+∠3=90°，
又∵直角△ADE中，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CE=CF；
（2）結(jié)論：BE′=CF
證明：作EH⊥AC與H．
∵∠1=∠2，
∴EH=ED，
又∵△ADE≌△F′D′E′，
∴ED=E′D′，
∴EH=E′D′，
∵直角△ACD中，∠CAB+∠6=90°，
直角△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
∴∠6=∠B，
在△E′BD′和△ECH中，

∠6=∠B ∠CHE=∠E′D′B EH=E′D′

，
∴△E′BD′≌△ECH，
∴CE=E′B，
∵CE=CF，
∴BE′=CF．

點(diǎn)評：本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，依據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，證明線段相等的問題常用的方法就是轉(zhuǎn)化成三角形相等問題．