Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交于AC的中點(diǎn)D，連接CO，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)G．

（1）求證：BC時(shí)⊙O的切線；

（2）若AB=2，求線段EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接BD，由圓周角性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)以及已知條件證明∠ABC=90°即可；（2）根據(jù)AB=2，則圓的直徑為2，所以半徑為1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，再通過證明△EGO∽△CBO得到關(guān)于EG的比例式可求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）如圖：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵AD=CD，∴AB=BC，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切線；（2）∵AB=2，∴BO=1，∵AB=BC=2，∴CO==，∵EF⊥AB，BC⊥AB，∴EF∥BC，∴△EGO∽△CBO，∴，∴，∴EG=，∴EF=2EG=.