Question

如圖所示，在平面直角坐標系中有點A（-1，0），點B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式；
（4）設點M是拋物線上任意一點，過點M作MN⊥y軸，交y軸于點N．若在線段AB上有且只有一點P，使∠MPN為直角，求點M的坐標．

Answer 1

（1）C點的坐標為（0，2）；理由如下：
如圖，連接AC，CB．依相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，
解得OC=2．
故C點的坐標為（0，2）．

（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4）．
把點C（0，2）的坐標代入上式得a=-

1

2

．
∴拋物線解析式是y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）如圖，過點C作CD∥OB，交拋物線于點D，則四邊形BOCD為直角梯形．
由（2）知拋物線的對稱軸是x=

3

2

，
∴點D的坐標為（3，2）．
設過點B，點D的解析式是y=kx+b．
把點B（4，0），點D（3，2）的坐標代入上式得

4k+b=0 3k+b=2

解之得

k=-2 b=8

∴直線BD的解析式是y=-2x+8．

（4）依題意可知，以MN為直徑的半圓與線段AB相切于點P．
設點M的坐標為（m，n）．
①當點M在第一或第三象限時，m=2n．
把點M的坐標（2n，n）代入拋物線的解析式得n²-n-1=0，
解之得n=

1± 5

2

．
∴點M的坐標是（1+

5

，

1+ 5

2

）或（1-

5

，

1- 5

2

）．
②當點M在第二或第四象限時，m=-2n．
把點M的坐標（-2n，n）代入拋物線的解析式得n²+2n-1=0，
解之得n=-1±

2

．
∴點M的坐標是（2-2

2

，-1+

2

）或（2+2

2

，-1-

2

）．
綜上，滿足條件的點M的坐標是（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

），
（2-2

2

，-1+

2

），（2+2

2

，-1-

2

）．