Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3），動點(diǎn)P在拋物線上．

（1）b =_________，c =_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________；（直接填寫結(jié)果）

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）， ， （2）存在P的坐標(biāo)是或（3）當(dāng)EF最短時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（， ）或（， ）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得出答案；（2）分以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)兩種情況分別進(jìn)行計算；兩種情況都根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，根據(jù)OC=OA=3，OD⊥AC得出 D是AC的中點(diǎn)，從而得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意得出方程，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1），， （-1,0）．

（2）存在．

第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵OA=OC，∠AOC =90° ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1=90°-45°=45°=∠C P1M．

∴MC=MP1． 由（1）可得拋物線為．

設(shè)，則， 解得：（舍去），．

∴． 則P1的坐標(biāo)是．

第二種情況，當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)A作AP2⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點(diǎn)F． ∴P2N∥x軸．由∠CAO=45°， ∴∠OAP2=45°． ∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．

∴P2N=NF． 設(shè)，則． 解得：（舍去），．

∴， 則P2的坐標(biāo)是．

綜上所述，P的坐標(biāo)是或

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC， ∴ D是AC的中點(diǎn)． 又∵DF∥OC， ∴．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是則， 解得：．

∴當(dāng)EF最短時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）．