【題目】如圖,經(jīng)過原點的拋物線軸的另一個交點為A。過點P(1,m)作直線PM軸于點M,交拋物線于點B,記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C(點B、點C不重合),連接CBCP。

⑴當(dāng)時,求點A的坐標(biāo)及BC的長;

⑵當(dāng)時,連接CA,當(dāng)CACP時,求的值;

⑶過點PPEPC,且PEPC,問是否存在m,使得點E恰好落在坐標(biāo)軸上,若存在,請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

【答案】A(5,0) BC=3;⑵

【解析】試題分析:(1)把m=,代入拋物線的解析式,令y=0解方程,得到的解即為和x軸交點的橫坐標(biāo),再求出拋物線的對稱軸方程,進而求出BC的長;

(2)過點CCHx軸于點H(如圖1)由已知得ACP=BCH=90°,利用已知條件證明ACH∽△PCB,根據(jù)相似的性質(zhì)得到:,再用含有m的代數(shù)式表示出BC,CHBP,代入比例式即可求出m的值;

(3)存在,本題要分當(dāng)m>1時,BC=2(m-1),PM=mBP=m-1和當(dāng)0<m<1時,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,兩種情況分別討論,再求出滿足題意的m值和相對應(yīng)的點E坐標(biāo).

試題解析:(1)當(dāng)m=時,y=-x2+5x

y=0,得-x2+5x=0.

x1=0,x2=5,

A(5,0).

當(dāng)x=1時,y=4,

B(1,4).

拋物線y=-x2+5x的對稱軸為直線x=,

BC關(guān)于對稱軸對稱,

BC=3;

(2)過點CCHx軸于點H(如圖).

由已知得ACP=BCH=90°

∴∠ACH=PCB

∵∠AHC=PBC=90°,

tanACH=tanPCB

拋物線y=-x2+2mx的對稱軸為直線x=m,其中m>1,

B,C關(guān)于對稱軸對稱,

BC=2(m-1).

B(1,2m-1),P(1,m),

BP=m-1.

A(2m,0),C(2m-1,2m-1),

H(2m-1,0).

AH=1,CH=2m-1.

m=;

(3)存在.

BC不重合,

m≠1,分兩種情況:

當(dāng)m>1時,m=2,相對應(yīng)的E點坐標(biāo)是(2,0)或(0,4);

當(dāng)0<m<1時,m=.,相對應(yīng)的E點坐標(biāo)是(,0);

E點坐標(biāo)是(2,0)或(0,4)或(,0).

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