Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段），已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長(zhǎng)線上。
（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；
（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；
當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；
（3）已知□AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）分別連接AD、DB，則點(diǎn)D在直線AE上，如圖1， ∵點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD， 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=， ∵AE∥BF， ∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為；
（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是b=或-1＜b＜1； 當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是1＜b＜；
（3）假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點(diǎn)M的位置，分以下四種情況討論： ①當(dāng)點(diǎn)M在射線AE上時(shí)，如圖2， ∵AMPQ四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列， ∴直線PQ必在直線AM的上方， ∴PQ兩點(diǎn)都在弧AD上，且不與點(diǎn)A、D重合， ∴0＜PQ＜ ∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜ ∴-2＜x＜-1， ②當(dāng)點(diǎn)M不在弧AD上時(shí)，如圖3， ∵點(diǎn)A、M、P、Q四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列， ∴直線PQ必在直線AM的下方， 此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形， ③當(dāng)點(diǎn)M在弧BD上時(shí)，設(shè)弧DB的中點(diǎn)為R， 則OR∥BF， （i）當(dāng)點(diǎn)M在弧DR上時(shí)，如圖4， 過(guò)點(diǎn)M作OR的垂線交弧DB于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)S，可得S是MQ的中點(diǎn)， 連結(jié)AS并延長(zhǎng)交直線BF于點(diǎn)P， ∵O為AB的中點(diǎn)，可證S為AP的中點(diǎn)。 ∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形， ∴0≤x＜ （ii）當(dāng)點(diǎn)M在弧RB上時(shí)，如圖5， 直線PQ必在直線AM的下方， 此時(shí)不存在滿足題意的平行四邊形， ④當(dāng)點(diǎn)M在射線BF上時(shí)，如圖6， 直線PQ必在直線AM的下方， 此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形， 綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍是-2＜x＜-1或0≤x＜。