Question

【題目】如圖，、、為上三點，，，，分別是，的中點，則________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連結OA、OB、OC，如圖，設⊙O的半徑為R，先根據三角形內角和定理計算出∠ACB=15°，在根據圓周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，則△OAC為等腰直角三角形，∠BOC=120°，由M，N分別是BC，AC的中點，根據垂徑定理得到OM⊥BC，ON⊥AC，然后根據等腰直角三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系得到ON=R，OM=R，最后求它們的比值．

連結OA、OB、OC，如圖，設⊙O的半徑為R．

∵∠BAC=120°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=15°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∠AOB=2∠ACB=30°，∴△OAC為等腰直角三角形，∠BOC=90°+30°=120°．

∵M，N分別是BC，AC的中點，∴OM⊥BC，ON⊥AC．在Rt△OCN中，ON=OC=R．

∵OC=OB，∠BOC=120°，∴∠OCB=∠OBC=30°．

在Rt△BOM中，OM=OB=R，∴OM：ON=R：R=1：．

故答案為：1：．