Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點D作⊙O的切線，分別交OA延長線與OC延長線于點E、F，連接BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑為1，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形，

而OA=OC，

∴四邊形AOCD是菱形，

∴△OAD和△OCD都是等邊三角形，

∴∠AOD=∠COD=60°，

∴∠FOB=60°，

∵EF為切線，

∴OD⊥EF，

∴∠FDO=90°，

在△FDO和△FBO中

，

∴△FDO≌△FBO，

∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切線

（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，

而tan∠FOB= ，

∴BF=1×tan60°= ．

∵∠E=30°，

∴EF=2BF=2 ．

【解析】（1）先證明四邊形AOCD是菱形，從而得到∠AOD=∠COD=60°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠FDO=90°，接著證明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）在Rt△OBF中，利用60度的正切的定義求解．本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．