Question

【題目】已知AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧上一點(diǎn)．

（1）如圖①，若點(diǎn)P是弦AB與所圍成的弓形區(qū)域（不含弦AB與）內(nèi)一點(diǎn)．求證：∠APB＞∠ACB；

（2）如圖①，若點(diǎn)P在弦AB上方，且滿足∠APB=∠ACB，則點(diǎn)P在上嗎？為什么？

（3）請(qǐng)?jiān)趫D②中直接用陰影部分表示出在弦AB與所圍成的弓形區(qū)域內(nèi)滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點(diǎn)P所在的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）在，理由見(jiàn)解析；

（3）如圖見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，可以證明結(jié)論成立，本題得以解決；（2）點(diǎn)P在上，利用（1）的結(jié)論和同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意和第（1）問(wèn)，可以畫(huà)出滿足∠ACB<∠APB<2∠ACB的點(diǎn)P所在的范圍，本題得以解決

試題解析：(1)證明：如下圖②所示，

延長(zhǎng)AP交O于點(diǎn)Q，連接BQ.

則∠PQB=∠ACB，

∵∠APB為△PQB的一個(gè)外角，

∴∠APB>∠PQB，

即∠APB>∠ACB；

(2)點(diǎn)P在上，

理由：由(1)知,點(diǎn)P是弦AB與所圍成的弓形區(qū)域(不含弦AB與)內(nèi)一點(diǎn)，∠APB>∠ACB，

同(1)的方法，點(diǎn)P在弦AB上半部分時(shí)，利用三角形的外角，得，∠APB<∠ACB，

∴點(diǎn)P在上，

(3)

連接AO，BO，延長(zhǎng)BO，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P連接AP，

∵∠AOB是△APO的外角，

∴∠AOB>∠APB，

∵∠AOB是在O中劣弧AB所對(duì)的圓心角，∠ACB是O中劣弧AB所對(duì)的圓周角，

∴∠AOB=2∠ACB，

∴點(diǎn)P所在的范圍如下圖③所示，