Question

如圖，在⊙O中，AB、CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？
（2）如果OE=OF，那么

AB

與

CD

的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？∠AOB與∠COD呢？

Answer 1

分析：（1）求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，證△EOB≌△FOD，即可推出OE=OF．
（2）證△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根據(jù)垂徑定理求出AB=CD，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系即可得出答案．

解答：（1）解：OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=

1

2

∠AOB，∠FOD=

1

2

∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，

∠OEB=∠OFD ∠EOB=∠FOD OB=OD

∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．

（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，

OB=OD OE=OF

∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂徑定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．

點評：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．