【題目】問(wèn)題探究
(1)如圖1,已知銳角△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,當(dāng)線(xiàn)段AD最短時(shí),請(qǐng)你在圖中畫(huà)出點(diǎn)D的位置.
圖1
(2)若一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在一個(gè)三角形的三條邊上;則稱(chēng)這個(gè)四邊形為該三角形的內(nèi)接四邊形.
如圖2,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∠B=90°.矩形BEFG是△ABC的內(nèi)接矩形,若EF=2,則矩形BEFG的面積為_________
如圖3,在△ABC中,AB=,BC=8,∠B=45°,矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上.若EF=2,求矩形DEFG的面積;
圖2 圖3
問(wèn)題解決:
(3)如圖4,△ABC是一塊三角形木板余料,AB=6,BC=8,∠B=30°,木匠師傅想利用它裁下一塊矩形DEFG木塊,矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形且D、E在邊BC上,請(qǐng)?jiān)趫D4中畫(huà)出對(duì)角線(xiàn)DF最短的矩形DEFG,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出此時(shí)DF的長(zhǎng)度.
圖4
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);;(3).
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,垂線(xiàn)段最短可得:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,則線(xiàn)段AD即為所求;
(2)①由矩形性質(zhì)可得:EF//AB,則△ABC∽△FEC,所以,即,解得EC=,從而求得BE=8-=,從而求得S矩形BEFG的面積;
②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,由∠B=45°,AB=可得:BH=AH=6,則CH=BC-BH=8-6=2,由矩形性質(zhì)可得:EF=DG=2,EF//AH//DG,則△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,則,從而求得BD=2,CE=,從而求得DE=BC-BD-CE=8-2-=,從而求得矩形BEFG的面積;
問(wèn)題解決:
(3) 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,由∠B=30°,AB=可得:AH=3,BH=3,則CH=BC-BH=8-3,設(shè)EF=x,由矩形性質(zhì)可得:EF=DG=x,EF//AH//DG,則△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,則從而求得BD=,CE=,則DF=BC-BD-CE=8-,又由DF=可得,則求DF最小值即轉(zhuǎn)化為求的最小值.
(1)如圖所示:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,則線(xiàn)段AD即為所求;
(2)①∵四邊形BEFG是矩形,
∴EF//AB,
∴△ABC∽△FEC,
∴,
又∵EF=2,AB=6,BC=8,
∴,解得EC=,
又∵BE=BC-EC,
∴BE=8-=,
∴S矩形BEFG=;
②過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖所示:
∵∠B=45°,AB=
∴BH=AH=6,
又∵BC=8,
∴CH=BC-BH=8-6=2,
∵四邊形BEFG是矩形,
∴EF=DG=2,EF//AH//DG,
∴△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,
∴,
又∵AH=6,DG=2,BH=6,EF=2,
∴BD=2,CE=,
又∵DE=BC-BD-CE
∴DE=8-2-=,
∴矩形BEFG的面積為:;
(3) 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖所示:
∵∠B=30°,AB=,
∴AH=3,BH=3,
又∵BC=8,
∴CH=BC-BH=8-3,
設(shè)EF=x,
四邊形BEFG是矩形,
∴EF=DG=x,EF//AH//DG,
∴△BDG∽△ABH,△ACH∽FCE,
∴,
即為:
∴BD=,CE=,
∴DE=BC-BD-CE=8--==8-,
又∵DF=
∴當(dāng)x=時(shí),DF有最小值為=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,BE與CD相交于點(diǎn)G,且OE=OD,則AP的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,BC邊上的點(diǎn),且DE∥AC,若,,則△ACD的面積為( )
A. 64 B. 72 C. 80 D. 96
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲時(shí),把兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)A、B分成4等份、3等份的扇形區(qū)域,并在每一小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字(如圖所示),指針的位置固定.游戲規(guī)則:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,若指針?biāo)竷蓚(gè)區(qū)域的數(shù)字之和為3的倍數(shù),甲勝;若指針?biāo)竷蓚(gè)區(qū)域的數(shù)字之和為4的倍數(shù)時(shí),乙勝.如果指針落在分割線(xiàn)上,則需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán).
(1)試用列表或畫(huà)樹(shù)形圖的方法,求甲獲勝的概率;
(2)請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎?試說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,,點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)(不與,重合).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),求證:;
(2)連接,作,交于點(diǎn).若時(shí),如圖2.
①______;
②求證:為等腰三角形;
(3)連接CD,∠CDE=30°,在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)求出的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線(xiàn)PC交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,OF∥BC交AC于AC點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)長(zhǎng)為15m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的距離為12m,
①如果梯子的頂端下滑了1m,那么梯子的底端也向后滑動(dòng)1m嗎?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算解答.
②梯子的頂端從A處沿墻AO下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎?若有可能,請(qǐng)求出這個(gè)距離,沒(méi)有可能請(qǐng)說(shuō)明理由.
③若將上題中的梯子換成15米長(zhǎng)的直木棒,將木棒緊靠墻豎直放置然后開(kāi)始下滑直至直木棒的頂端A滑至墻角O處,試求出木棒的中點(diǎn)Q滑動(dòng)的路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△ACE是等腰三角形,∠AEC=120°,AE=CE,F為BC中點(diǎn),連接AE.
(1)直接寫(xiě)出∠BAE的度數(shù)為 ;
(2)判斷AF與CE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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