Question

已知：n，k均為自然數(shù)，且滿(mǎn)足不等式

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，若對(duì)于某一給定的自然數(shù)n，只有惟一的一個(gè)自然數(shù)k使不等式成立，則所有符合要求的自然數(shù)n中的最大數(shù)和最小數(shù)的和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：由題意可得：

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，整理得：

5

6

＜

k

n

＜

6

7

①，也可得

5n

6

＜k＜

6n

7

②，根據(jù)對(duì)于某一給定的自然數(shù)n，k的值只有一個(gè)，可得出n的最大值，再由①可得n＞7，然后依次試驗(yàn)n=8、9、10…，即可得出n的最小值．

解答：解：∵n，k均為自然數(shù)，

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，
∴

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，
∴

5

6

＜

k

n

＜

6

7

①，
∴

5n

6

＜k＜

6n

7

②，
∵k為自然數(shù)，且對(duì)于給定n來(lái)說(shuō)k的值只有一個(gè)，
∴

6

7

n-

5

6

n≤2，即

n

42

≤2，
∴n≤84，
當(dāng)n=84時(shí)，代入②有：70＜k＜72，只能取得唯一一個(gè)k=71，
∴n的最大值為84；
又根據(jù)①式，

5

6

＜

k

n

＜

6

7

，顯然n＞7，
當(dāng)n取8時(shí)，6

2

3

＜k＜6

6

7

，沒(méi)有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取9時(shí)，7

1

2

＜k＜7

5

7

，沒(méi)有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取10時(shí)，8

1

3

＜k＜8

4

7

，沒(méi)有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取11時(shí)，9

1

6

＜k＜9

3

7

，沒(méi)有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取12時(shí)，10＜k＜10

2

7

，沒(méi)有符合條件的整數(shù)k；
當(dāng)n取13時(shí)，10

5

6

＜k＜11

1

7

，k=11，
∴n=13為符合條件的最小值．
綜上可得：n的最大值為84，n的最小值為13．
則84+13=97．
故答案是：97．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，解答此類(lèi)提競(jìng)賽類(lèi)題目，關(guān)鍵是靈活變通，本題的靈活之處在與由

7

13

＜

n

n+k

＜

6

11

，得出

11

6

＜

n+k

n

＜

13

7

，難度較大．