Question

在△ABC中是否存在一點P，使得過P點的任意一直線都將該△ABC分成等面積的兩部分？為什么？

Answer 1

解：假設(shè)存在點P滿足條件，連BP并延長交AC于E，
則S_△ABD=S_△ACD，故BD=CD．
同理，AE=CE，則P為△ABC的重心，故=．

過P作BH∥BC，分別交AB、AC、于G、H，
由△AGH∽△ABC得，===，
則S_△AGN：S_{四邊形BCGN}=4：5，
即S_△AGN≠S_{A四邊形BCGN}，故點P不滿足條件，
即不存在這樣的點P．
分析：從“假設(shè)存在點P滿足條件”去分析，假設(shè)存在點P滿足條件，連BP并延長交AC于E，可得S_△ABD=S_△ACD，過P作BH∥BC，分別交AB、AC、于G、H，求證△AGH∽△ABC，利用面積比是相似比的平方，得出S_△AGN：S_{四邊形BCGN}=4：5，從而證明假設(shè)錯誤．
點評：此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，三角形的重心等知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用反證法求解，對學(xué)生來說難度較大．