Question

在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，ED⊥AC垂足為E．
（1）如圖（1）試確定PE與AC之間的數(shù)量關(guān)系______
（2）如圖（2）在（1）的條件下，若P點在AC的延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請給予證明．
（3）如圖（1）當AP=1時，四邊形PBDE的面積為______平方單位（直接寫出結(jié)果，不要求解答過程）．

Answer 1

解：（1）作斜邊AC的中線BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，∠A=∠C=45°，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC，
∴∠PBO=∠DPC
∵ED⊥AC，
∴Rt△BOP≌Rt△PDE，
∴BO=PE，
∴PE=OC=AO，
∴PE=，


（2）作斜邊AC的中線BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，
∵AE⊥DE，
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠CDE=45°，
∵PD=PB，
∴∠PDC=∠CBD，
∵∠DPE=∠DCE+∠PDC，∠OBP=∠OBC+∠CBP，
∴∠DPE=∠OBP，
∴△OPB≌△EDP，
∴OB=PE，
∴PE=OA=OC，
∴PE=，

（3）如（1）中的圖，作斜邊AC的中線BO，
∵等腰直角三角形ABC，AB=BC=4，
∴OB=OC=OA=2，
∵AP=1，
∴OP=2-1，
∵Rt△BOP≌Rt△PDE，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴PE=OB=2，DE=CE=OP=，
∵S_{四邊形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE
=
=．
故答案為PE=，．
分析：（1）作斜邊AC的中線BO，即可推出BO⊥BC，且BO=OC=AO，然后通過求證△POB≌△DEP，推出PE=BO，即可推出PE與AC的數(shù)量關(guān)系，（2）依然成立，通過求證△OPB≌△EDP即可推出結(jié)論，（3）做作斜邊AC的中線BO，根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可得：PE=OB=2，DE=CE=OP=，通過S_{四邊形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE，即可推出S_{四邊形PBDE}的值．
點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識點，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出△OPB和△EDP全等及相關(guān)邊的長度．