精英家教網(wǎng)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是邊BC延長線上的一點,連接AP交邊CD于點E,把射線AP沿直線AD翻折,交射線CD于點Q,設(shè)CP=x,DQ=y.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(2)當(dāng)點P運動時,△APQ的面積是否會發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,請求出△APQ的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;如果不發(fā)生變化,請說明理由;
(3)當(dāng)以4為半徑的⊙Q與直線AP相切,且⊙A與⊙Q也相切時,求⊙A的半徑.
分析:(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)知:∠QAD=∠DAE=∠APB,由此可證得△QAD∽△APB,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)由翻折的性質(zhì)易證得△ADE≌△ADQ,可得QD=DE,即QE=2y,而△AQP的面積可由QE•BP的一半(即QD•BP)求得,由(1)知,QD•BP為定值即12,因此△APQ的面積是不會變化的.
(3)若⊙Q與直線AP相切,且半徑為4,根據(jù)△APQ的面積即可求得AP的長,進(jìn)而可得∠APB、∠QAD的度數(shù),從而根據(jù)AD的長求得AQ的值;然后分⊙A與⊙Q內(nèi)切、外切兩種情況分類求解即可.
解答:解:(1)在矩形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠APB=∠DAP,
又由題意,得∠QAD=∠DAP,
∴∠APB=∠QAD,
∵∠B=∠ADQ=90°,
∴△ADQ∽△PBA,(1分)
DQ
AB
=
AD
BP
,即
y
3
=
4
x+4
,
y=
12
x+4
,(1分)
定義域為x>0.(1分)

(2)不發(fā)生變化(1分)
證明如下:
∵∠QAD=∠DAP,∠ADE=∠ADQ=90°,AD=AD,
∴△ADE≌△ADQ,
∴DE=DQ=y;(1分)
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ=
1
2
QE•AD+
1
2
QE•CP=
1
2
QE(AD+CP)=
1
2
QE•BP=DQ•BP=y×(x+4)=12;
所以△APQ的面積沒有變化.

精英家教網(wǎng)(3)過點Q作QF⊥AP于點F
∵以4為半徑的⊙Q與直線AP相切,
∴QF=4(1分)
∵S△APQ=12,
∴AP=6(1分)
在Rt△ABP中,
∵AB=3,
∴∠BPA=30°(1分)
∴∠PAQ=60°,此時AD=4,DE=
3
3
,
∴AQ=EQ=2DE=
8
3
3
(1分)
設(shè)⊙A的半徑為r,
∵⊙A與⊙Q相切,
∴⊙A與⊙Q外切或內(nèi)切.
(i)當(dāng)⊙A與⊙Q外切時,AQ=r+4,即
8
3
3
=r+4,
∴r=
8
3
3
-4
.(1分)
(ii)當(dāng)⊙A與⊙Q內(nèi)切時,AQ=r-4,即
8
3
3
=r-4,則r=
8
3
3
+4
綜上所述,⊙A的半徑為
8
3
3
-4
8
3
3
+4
點評:此題主要考查了圖形的翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的求法以及圓與圓的位置關(guān)系等知識,綜合性強,難度較大.
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如圖,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是線段AD邊上的任意一點(不含端點A、D),連接PC,過點P作PE⊥PC交AB于E.
(1)在線段AD上是否存在不同于P的點Q,使得QC⊥QE?若存在,求線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請說明理由;
(2)當(dāng)點P在AD上運動時,對應(yīng)的點E也隨之在AB上運動,求BE的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,點E在BC上且∠BAE=30°,延長BC到點F使CF=BE,連接DF.
(1)判斷四邊形AEFD的形狀,并說明理由;
(2)求DF的長度;
(3)若四邊形AEFD是菱形,求菱形AEFD的面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,四邊形AFCE為菱形,求菱形的面積.

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如圖,已知在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,⊙E和⊙F分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓,與對角線AC分別切于E、F,則EF=
2
5
2
5

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如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點,F(xiàn)是AB上的一點,EF⊥EC,且EF=EC,D精英家教網(wǎng)E=3cm,BC=7cm.
(1)求證:△AEF≌△DCE;
(2)請你求出EF的長.

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