Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD與x軸交于點(diǎn)E．
（1）請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將直線CD向左平移兩個(gè)單位，與拋物線交于點(diǎn)F（不與A、B兩點(diǎn)重合），請你求出F點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的拋物線上有一點(diǎn)P，使△PBF的面積最大，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及△PBF的最大面積；
（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點(diǎn)，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑．

Answer 1

解：（1）拋物線y=x²+2x-3中，x=0，則y=-3；y=0，則x=1或-3；
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4）；
故A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），D（-1，-4）．

（2）∵C（0，-3），D（-1，-4），
∴直線CD：y=x-3；
將直線CD向左平移兩個(gè)單位，得：
y=（x+2）-3=x-1，
此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴F（-2，-3）．

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BF交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)H．
易得F（-2，-3），直線BF解析式為y=x-1．
設(shè)P（x，x²+2x-3），則M（x，x-1），
∴PM=-x²-x+2=-（x+）²+；
PM的最大值是，此時(shí)x=-，
當(dāng)PM取最大值時(shí)△PBF的面積最大，
S_△PBF=S_△PFM+S_△PEM=，
△PFB的面積的最大值為，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-，-）．

（4）如圖，①當(dāng)直線GH在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則H（R-1，R），
代入拋物線的表達(dá)式，
解得；
②當(dāng)直線GH在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），
則H（r-1，-r），
代入拋物線的表達(dá)式，
解得
∴圓的半徑為或．
分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)；利用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）易求得直線CD的解析式，利用左加右減的平移規(guī)律，可得到平移后的直線解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）過P作PM∥y軸交直線BF（題2平移后的直線）于M，設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線的解析式，可求得P、M的縱坐標(biāo)，從而得到PM的長，以PM為底、B、F的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求得△BFP的面積表達(dá)式（也可由△BMP、△FMP的面積和求得），也就得到了關(guān)于△BFP的面積和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△BFP的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．（也可先求得PM的最大值，然后再求出此時(shí)△BFP的最大面積）
（4）若易G、H的圓與x軸相切，那么G、H縱坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑，且圓心在拋物線的對稱軸上，可用圓的半徑分別表示出G、H的坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得該圓的半徑．（需要注意的是，在表示G、H的坐標(biāo)時(shí)，要分圓心在x軸上、下方兩種情況討論．）
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)圖象的平移、圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、切線的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)．要注意的是（4）題中，應(yīng)該考慮到在x軸的上、下方都存在符合條件的圓，一定要分類討論，以免漏解．