Question

銳角△ABC中，BC邊的長(zhǎng)為120cm，面積為4800cm²．兩動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上滑動(dòng)，且MN平行BC，以M，N分別為邊向下作正方形MPQN，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
（1）BC邊上的高AD為

 

cm；
（2）若PQ恰好落在BC上，求此時(shí)x的值；
（3）當(dāng)PQ在外部時(shí)，當(dāng)x為何值時(shí)，正方形MPQN與△ABC重疊部分的面積恰好為1914cm²．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用三角形的面積公式，三角形的面積=

1

2

×底×高計(jì)算即可；
（2）根據(jù)△AMN與△ABC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式計(jì)算；
（3）設(shè)正方形在△ABC內(nèi)的邊長(zhǎng)為a，也就是△ABC的高在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度，然后利用同（2）的運(yùn)算，計(jì)算出a的長(zhǎng)度，再利用矩形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：解：（1）如圖1，∵S_△ABC=4800cm²，
∴

1

2

BC•AD=4800，又BC=120cm，
∴AD=80cm．
故答案是：80；

（2）設(shè)AD與MN相交于點(diǎn)H，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AH

AD

=

MN

BC

，即

80-x

80

=

x

120

，
解得x=48，即當(dāng)x為48cm時(shí)，PQ恰好落在BC上，

（3）如圖2，設(shè)MP、NQ分別與BC相交于點(diǎn)E、F，
設(shè)HD=a，則AH=80-a，
由

AH

AD

=

MN

BC

，得到

80-a

80

=

x

120

，
解得a=-

2

3

x+80．
則矩形MEFN的面積=MN×HD=x（-

2

3

x+80）=1914，
解得x=87或x=33．
∵PQ在外部，
∴x＞48．
∴x=87．
即當(dāng)PQ在外部時(shí)，當(dāng)x為87時(shí)，正方形MPQN與△ABC重疊部分的面積恰好為1914cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似綜合題．解題時(shí)利用了相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的性質(zhì)，正方形的四條邊都相等的性質(zhì)，讀懂題意，列出比例式是解題的關(guān)鍵，難度中等．