Question

（2012•路北區(qū)一模）如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的對稱軸及k值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限，當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標；
（4）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點式即可得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，然后把C點坐標代入解析式可求出k=-4；
（2）令y=0得到（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，可確定A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），再利用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，由于使得PA+PC的值最小的點P為直線AC與對稱軸的交點，把x=-1代入y=-x-3即可確定P點坐標；
（3）連接OM，設(shè)M點坐標為（x，（x+1）²-4），利用S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO可得到S_{四邊形AMCB}=-

3

2

x²-

9

2

x+6，配方得到S=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到當x=-

3

2

時，S最大，最大值為

75

8

；同時可得到M點坐標；
（4）討論：當以AB為對角線，利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形，則點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，所以F點坐標為（-1，-4）；當以AB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4，則可確定F的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到F點的縱坐標．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-1，
把C（0，-3）代入y=（x+1）²+k得-3=1+k，
∴k=-4；
（2）連接AC，交對稱軸于點P，如圖1，
對于y=（x+1）²-4，令y=0，則（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，
∴A點坐標為（-3，0），B點坐標為（1，0），
設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y=mx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入y=m x+b得

-3m+b=0 b=-3

，解得

m=-1 b=-3

，
∴直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，
當x=-1時，y=1-3=-2，
∴P點坐標為（-1，-2）；
（3）連接OM，如圖1，設(shè)M點坐標為（x，（x+1）²-4）
S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO=

1

2

×AO×|y_m|+

1

2

×CO×|x_m|+

1

2

×OC×BO
=

3

2

[4-（x+1）²]+

1

2

×3×（-x）+

1

2

×3×1
=-

3

2

x²-

9

2

x+6
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

75

8

，
當x=-

3

2

時，S最大，最大值為

75

8

；
此時M點坐標為（-

3

2

，-

15

4

）；
（4）存在．點F的坐標為（-1，-4）、（3，12）、（-5，12）．
當以AB為對角線，如圖2，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
而EA=EB，
∴四邊形AFBE為菱形，
∴點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，
∴F點坐標為（-1，-4）；
當以AB為邊時，如圖3，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
∴EF=AB=4，即F₂E=4，F(xiàn)₁E=4，
∴F₁的橫坐標為3，F(xiàn)₂的橫坐標為-5，
對于y=（x+1）²-4，
當x=3時，y=16-4=12；
當x=-5時，y=16-4=12，
∴F點坐標為（3，12）或（-5，12）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

，當a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當a＜0，y_{最，大值}=

4ac-b2

4a

；拋物線上的點的橫縱坐標滿足拋物線的解析式；對于特殊四邊形的判定與性質(zhì)要熟練運用．