Question

【題目】如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個直角三角形，AB=3，BC=6．現(xiàn)將Rt△ADC繞點C順時針旋轉90°，點A旋轉后的位置為點E，點D旋轉后的位置為點F．以C為原點，以BC所在直線為x軸，以過點C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標系．

（1）求直線AE的解析式；

（2）將Rt△EFC沿x軸的負半軸平行移動，如圖③．設OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC與Rt△ABO的重疊部分面積為s；求當x=1與x=8時，s的值；

（3）在（2）的條件下s是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AE解析式為：;(2) ①;②;(3) 當時，存在S的最大值，S最大=．

【解析】

試題

（1）由題意易得點A、E的坐標分別為（-6，3）和（3，6），由此設直線AE的解析式為y=kx+b，代入A、E的坐標列出方程組，求得k、b的值即可得到所求解析式；

（2）①如圖1，當x=1時，重疊部分為△POC，由此時△POC∽△BOA，結合S△BOA=AB·BO即可求得重疊部分的面積；②如圖2，當x=8時，重疊部分是梯形ABFQ，由已知條件計算可得：AB=3、BF=1、FQ=2.5，從而可由梯形面積公式計算出重疊部分的面積；

（3）由畫圖分析可知，當0＜x≤3與7.5＜x≤9時，不會出現(xiàn)s的最大值；而當3＜x≤6時，由圖3可知：當x=6時，s最大；當6＜x≤7.5時，如圖4，此時也存在一個區(qū)間的最大值，結合圖形和已知條件分別求出當3＜x≤6時和6＜x≤7.5時重疊部分面積的最大值，并進行比較，即可得到移動過程中s的最大值及對應的x的值.

試題解析：

（1）AB=3，BC=6，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知：A（﹣6，3），E（3，6），

設函數(shù)解析式為y=kx+b，

把A（﹣6，3），E（3，6）分別代入解析式得， ，解得： .

∴直線AE解析式為：．

（2）①當x=1時，如圖1，重疊部分為△POC，

可得：Rt△POC∽Rt△BOA，

∴ ，由已知條件計算可得：，解得：.

②當x=8時，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，

由已知條件計算可得：OF=5，BF=1，F(xiàn)Q=2.5，

∴S=(FQ+AB)·BF=(2.5+3)×1=．

（3）

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當0＜x≤3與7.5＜x≤9時，不會出現(xiàn)s的最大值．

②當3＜x≤6時，由圖3可知：當x=6時，s最大．

此時，由已知條件計算可得：S△OBN=，S△OMF= ，

∴S= S△OBN- S△OMF= ．

③當6＜x≤7.5時，如圖4，由已知條件計算可得：S△OCN=，S△OFM=，S△BCG=．

∴S=S△OCN﹣S△OFM﹣S△BCG=，

∴S=，

∴當時，S有最大值，S最大=，

綜合得：當時，存在S的最大值，S最大=．