Question

如圖，已知銳角△ABC及其外接圓⊙O，AM是BC邊的中線．分別過點(diǎn)B，C作⊙O的切線，兩條切線相交于點(diǎn)X，連接AX．求證：

AM

AX

=cos∠BAC．

Answer 1

分析：設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A₁，連接OB，OC，OA₁．連接OX過點(diǎn)M，求得XB²=XM•XO．①；利用切割線定理求得XB²=XA₁•XA．②；由①，②求證△XMA∽△XA₁O，即可求證．

解答：證明：設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A₁，連接OB，OC，OA₁．又M為BC的中點(diǎn)，
所以，連接OX，它過點(diǎn)M．
∵OB⊥BX，OX⊥BC，
∴XB²=XM•XO．①
又由切割線定理得XB²=XA₁•XA．②
由①，②得

XM

XA

=

XA 1

XO

，
∴△XMA∽△XA₁O，
∴

AM

AX

=

OA 1

OX

=

OB

OX

．
又∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOX=∠BAC，
∴

AM

AX

=

OB

OX

=cos∠BAC．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、切線長定理、切割線定理等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，此題的關(guān)鍵是設(shè)AX與⊙O相交于點(diǎn)A₁，連接OB，OC，OA₁．又M為BC的中點(diǎn)，所以，連接OX，它過點(diǎn)M．然后利用切割線定理和相似三角形的性質(zhì)來求解的．