Question

函數(shù)f（x）=λx²+（λ-3）x+1對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≤f（λ），則函數(shù)f（x）的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：根據(jù)函數(shù)有最值，首先判斷出λ＜0，進(jìn)而利用二次函數(shù)的最值得出f（x）的最大值，使這個(gè)最大值與f（λ）相等，解方程即可得出λ的值，進(jìn)而代入求出f（x）最大值．

解答：解：由題意得，f（x）有最大值，則可得λ＜0，
又∵f（x）=λ（x+

λ-3

2λ

）²+1-

(λ-3)2

4λ

，
∴f（x）的最大值為1-

(λ-3)2

4λ

，
又∵f（x）≤f（λ），
∴f（λ）=λ³+（λ-3）λ+1=1-

(λ-3)2

4λ

，
解得：λ=1（舍去）或λ=-

3

2

，
將λ=-

3

2

，代入可得f（x）的最大值為

35

8

．
故答案為：

35

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是正確的表示出二次函數(shù)的最值，難點(diǎn)在于聯(lián)立f（x）的最大值與f（λ）解高次方程，難度較大．