Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B。

（1）若直線y＝mx＋n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo)。

Answer 1

  解：（1）依題意得：解之得：

∴拋物線解析式為

     ∵對稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0）

     ∴  把B（－3，0）、C（0，3）分別代入直線y＝mx＋n

得

解之得：    

∴直線y＝mx＋n的解析式為

（2）設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，則此時MA＋MC的值最小。把x＝－1代入直線得，y＝2

∴M（－1，2）。即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為（－1，2）。

（注：本題只求M坐標(biāo)沒說要證明為何此時MA＋MC的值最小，所以答案沒證明MA＋MC的值最小的原因）

     （3）設(shè)P（－1，t），又B（－3，0），C（0，3）

∴BC²＝18，PB²＝(－1＋3)²＋t²＝4＋t²，PC²＝(－1)²＋(t－3)²＝t²－6t＋10

①若點B為直角頂點，則BC²＋PB²＝PC²即：18＋4＋t²＝t²－6t＋10解之得：t＝－2

②若點C為直角頂點，則BC²＋PC²＝PB²即：18＋t²－6t＋10＝4＋t²解之得：t＝4

③若點P為直角頂點，則PB²＋PC²＝BC²即： 4＋t²＋t²－6t＋10＝18解之得：t₁＝，t₂＝

         綜上所述P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(－1，4) 或(－1，) 或(－1，)