Question

如圖，△ABP與△CDP是兩個全等的等邊三角形，且PA⊥PD．有下列四個結論：①∠PBC=30°；②AD∥BC；③直線PC與AB垂直；④四邊形
ABCD是軸對稱圖形．其中正確結論的個數為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：延長CP交AB于點E，由等邊三角形和等腰直角三角形的性質就可以得出∠PAB=∠PBA=∠APB=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°，∠PAD=∠PDA=45°，∠APD=90°，就可以得出∠BPC=150°，由△ABP≌△CDP據可以得出∠PBC的值，就可以求出∠CEB=90°，也可以求出∠DAB+∠ABC=180°而得出AD∥BC，由AB=CD，AD∥BC就可以得出四邊形ABCD是軸對稱圖形而得出結論．
解答：解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
∴∠PBC=∠PCB．
∵△ABP與△CDP都是等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=∠PDC=∠PCD=∠DPC=60°．
∵PA⊥PD．
∴∠APD=90°，
∴∠PAD=∠PDA=45°．
∵∠APD+∠APB+∠DPC+∠BPC=360°，
∴∠BPC=150°．
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①錯誤；
∵∠EBP+∠PBC+∠PCB+∠CEB=180°，
∴60°+15°+15°+∠CEB=180°，
∴∠CEB=90°，
∴CE⊥AB．故③正確；
∵∠DAP+∠PAB+∠ABP+∠PBC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC．故②正確；
∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形ABCD是軸對稱圖形．故④正確．
∴正確的有②③④．
故選C．
點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，垂直的性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，解答時根據等邊三角形性質求解是關鍵．