Question

已知拋物線經(jīng)過A(3，0), B(4，1)兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；

（2）如圖（1）,連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖（2）,連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

 

Answer 1

解：（1）（3分）將A(3,0),B(4,1)代人

            得

            ∴

            ∴

            ∴C(0,3)

        (2)(7分)假設(shè)存在，分兩種情況，如圖.

           ①連接AC,

             ∵OA=OC=3, ∴∠OAC=∠OCA=45^O. ……1分

             過B作BD⊥軸于D，則有BD=1，

             ,

             ∴BD=AD, ∴∠DAB=∠DBA=45^O.

             ∴∠BAC=180^O-45^O-45^O=90^O……………2分

             ∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合條件.

             ∴P₁(0,3)為所求.

           ②當∠ABP=90^O時,過B作BP∥AC,BP交拋物線于點P.

             ∵A(3,0),C(0,3)

             ∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為

             將直線AC向上平移2個單位與直線BP重合.

             則直線BP的函數(shù)關(guān)系式為

             由,得

             又B(4,1), ∴P₂(-1,6).

             綜上所述,存在兩點P₁(0,3), P₂(-1,6).

        另解②當∠ABP=90^O時, 過B作BP∥AC,BP交拋物線于點P.

             ∵A(3,0),C(0,3)

             ∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為

將直線AC向上平移2個單位與直線BP重合.

則直線BP的函數(shù)關(guān)系式為

∵點P在直線上，又在上.

∴設(shè)點P為

∴

解得

∴P₁(-1,6), P₂(4,1)(舍)

綜上所述,存在兩點P₁(0,3), P₂(-1,6).

(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45^O,而∠OEF=∠OAF=45^O,

    ∠OFE=∠OAE=45^O,

    ∴∠OEF=∠OFE=45^O,

    ∴OE=OF, ∠EOF=90^O

    ∵點E在線段AC上,

    ∴設(shè)E

    ∴

           =

∴

        =

        =

        =

∴當時, 取最小值,

此時,

∴