Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°．
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作△ABC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D．
②作△AED，使∠ADE=∠ADC，DE交AB于點(diǎn)E．
（2）證明與計(jì)算：
①△ACD≌△AED；
②若∠B=30°，CD=1，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)角平分線的作法作圖即可；
②根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作法作圖即可；
（2）①根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD=∠EAD，再根據(jù)ASA證明△ACD≌△AED；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到CD=1，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）①如圖所示：
②如圖所示：
（2）證明：①∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD與△AED中，

∠CAD=∠EAD AD=AD ∠ADC=∠ADE

∴△ACD≌△AED（ASA）；
②由①得△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AB．
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．

點(diǎn)評(píng)：考查了作圖-復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線的作法，作一個(gè)角等于已知角．同時(shí)考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．