Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且，將沿著翻折到．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以個(gè)單位秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，分別交直線、直線于點(diǎn)、，設(shè)線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的關(guān)系式，并寫出的取值范圍．

(3如圖2在（2）的條件下，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；若存在，求出值和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，6）；（2）y與x的關(guān)系式為：；（3）t=3，M（2，9）

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出OA、OB、OC，證明△BCD是等邊三角形，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明△ABO≌△ADH，求出DH、AH即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先求出直線AD與直線CD的解析式，再分直線PM在點(diǎn)D左側(cè)與右側(cè)分別求出y與x的解析式即可；

（3）根據(jù)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形且F在直線PM上，確定點(diǎn)F在第一象限，根據(jù)AF=B求出t的值，即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo).

（1）∵A（0,3），B(-,0)，

∴OA=3，OB=,

∴AB==2，

∵C(3，0)，

∴OC=3，

∴AC==6，BC=4，

∴，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠ACB=30°，

由折疊得：∠ACD=∠ACB=30°，∠CAD=∠BAC=90°，

∴B、A、D三點(diǎn)共線，∠BCD=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，

由折疊得：AD=AB，

∵∠OAB=∠DAH，∠AHD=∠AOB=90°，

∴△ABO≌△ADH,

∴DH=OB=，AH=OA=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，6）；

（2）

∵A(0，3)，D(，6），∴直線AD的解析式為：y=x+3，

∵C（3,0），∴直線CD的解析式為：y=-x+9，

當(dāng)直線PM在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，此時(shí)，

MN=-x+9-（x+3）=-2x+6，

當(dāng)直線PM在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，此時(shí)，

MN=x+3-(-x+9)=2x-6，

綜上，y與t的關(guān)系式為： ；

（3）∵點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，C（3,0），

∴（-3,0），

∴B=2，

∵以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且F在直線PM上，

∴點(diǎn)F在第一象限，且AF=B=2，AF∥B，

令直線CD的解析式y=-x+9中y=3時(shí)，得x=2，

∴N（2,3），

∴AN∥x軸，

∴點(diǎn)F與點(diǎn)N重合，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，

將x=2代入y=x+3中得y=9，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，9），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，

∴t=.