Question

點(diǎn)D為Rt△ABC的斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，連接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF
（1）如圖1，若AC=BC，求證：AF⊥AB；
（2）如圖2，若AC≠BC，當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：AF⊥AB．

Answer 1

證明：（1）∵∠ADE=∠BCD，
∴∠FDC=∠B=45°，
∴CD=CF，
∴△CDB≌△CAF，
∴∠CAF=45°，
∴AF⊥AB；

（2）∵∠ADE=∠BCD，
∠ACD+∠DCB=90°，
∠DCA+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠BAC=∠CFD，
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴△ACB∽△FDC，
∴，
∴△BCD∽△ACF，
∴∠B=∠CAF，
∴AF⊥AB．
分析：（1）根據(jù)∠ADE=∠BCD可得出∠FDC=∠B=45°，進(jìn)而可得到△CDB≌△CAF，由全等三角形的性質(zhì)即可得出AF⊥AB；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ACB∽△FDC，進(jìn)而得出△BCD∽△ACF，再由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．