【題目】如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn),直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于D,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),直線CE交直線AB于點(diǎn)F.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半徑.
【答案】
(1)證明:連CB、OC,如圖,
∵BD為⊙O的切線,
∴DB⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°,
∵E為BD的中點(diǎn),
∴CE=BE,
∴∠BCE=∠CBE,
而∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,
∴OC⊥CF,
∴CF是⊙O的切線
(2)解:CE=BE=DE=3,
∵EF=5,
∴CF=CE+EF=8,
∵∠ABD=90°,
∴∠EBF=90°,
∵∠OCF=90°,
∴∠EBF=∠OCF,
∵∠F=∠F,
∴△EBF∽△OCF,
∴ ,
∴ ,
∴OC=6,
即⊙O的半徑為6.
【解析】已知圓的直徑,常添加輔助線是連接弦,構(gòu)造圓周角是直角;要證某一直線是圓的切線,添加輔助線的方法是“連半徑,證垂直”或“作垂線,證半徑”。(1)連CB、OC根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,得出∠ABD=∠BCD=90°,在Rt△BCD中,因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得出EC=BE,得到E∠BCE=∠CBE,于是就可以證得∠OCE=90°,根據(jù)切線的判定定理就可以得到CF是⊙O的切線;(2)由(1)的證明過程可知CE=BE=DE=3,而EF=5,可以得到CF=8,易證△EBF∽△OCF,從而求得圓的半徑長,。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.
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【題目】據(jù)說我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中,看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題: 一個數(shù)是 59319,希望求出它的立方根.華羅庚脫口而出:39. 鄰座的乘客十分驚奇,忙問計(jì)算的奧妙. 你知道華羅庚是怎樣計(jì)算的嗎?請按照下面的問題試一試:
(1)由,試確定 是 __________位數(shù);
(2)由 19683 個位數(shù)是 3,試確定 個位數(shù)是 ________________;
(3)如果劃去 19683 后面的三位數(shù) 683 得到數(shù) 19 ,而 ,由此你能確定十位 的數(shù)字是___________ ;
(4) 用上述方法確定 110592 的立方根是_______________ .
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A.7
B.10
C.11
D.10或11
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(1)求,,的值;
(2)運(yùn)動時間等于多少時,點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等?
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解:∵∠1=∠3,
又∠2=∠3(_______),
∴∠1=____,
∴______∥______(_______),
又∵CD∥EF,
∴AB∥_____,
∴∠1=∠4(兩直線平行,同位角相等).
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A. 4小時B. 4.4小時C. 4.8小時D. 5小時
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(1)請直接寫出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);
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(3)請直接寫出:以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
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