Question

（1）在△ABC中，∠ABC的角平分線和∠ACB的角平分線交于點P，如圖1，試猜想∠P與∠A的關系，并予以證明；
（2）在△ABC中，一個外角∠ACE的角平分線和一個內角∠ABC的角平分線交于點P，如圖2，試猜想∠P與∠A的關系，并予以證明；
（3）在△ABC中，兩個外角∠EBC的角平分線和∠FCB的角平分線交于點P，如圖3，試猜想∠P與∠A的關系，并予以證明．

Answer 1

考點：三角形的外角性質,三角形內角和定理

專題：

分析：（1）根據三角形的內角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，再根據角平分線的定義可得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，然后整理即可得證；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵點P為角平分線的交點，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△PBC中，∠P=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）由三角形的外角性質得，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵外角∠ACE的角平分線和內角∠ABC的角平分線交于點P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠P+

1

2

∠ABC，
∴∠P=

1

2

∠A；

（3）∵外角∠EBC的角平分線和∠FCB的角平分線交于點P，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB）=

1

2

∠A+90°，
在△PBC中，∠P=180°-（

1

2

∠A+90°）=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟記性質與概念是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．