Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD中點，且BE平分∠ABC．求證：AB=AD+BC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),梯形中位線定理

專題：證明題

分析：延長BE交AD的延長線于G，由AD∥BC，可得∠G=∠EBC，∠C=∠GDE，由E是CD中點，可得DE=EC，根據(jù)AAS可證△DEG≌△CEB，可得DG=BC，進而可得AD+BC=AD+DG=AG，然后由BE平分∠ABC，可得∠ABG=∠EBC，進而得到∠ABG=∠G，然后根據(jù)等角對等邊，可得AB=AG，進而可得AB=AD+BC．

解答：證明：延長BE交AD的延長線于G，

∵AD∥BC，
∴∠G=∠EBC，∠C=∠GDE，
∵E是CD中點，
∴DE=EC，
在△DEG和△CEB中，

∠G=∠EBC ∠C=∠GDE DE=EC

，
∴△DEG≌△CEB（AAS），
∴DG=BC，
∴AD+BC=AD+DG=AG，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=∠EBC，
∴∠ABG=∠G，
∴AB=AG，
∴AB=AD+BC．

點評：本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．