Question

（2008•石景山區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點坐標(biāo)分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△COD（A點轉(zhuǎn)到C點位置），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過C、D、B三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為P，求△PAB的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，若存在，請寫出M點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△AOB中，根據(jù)B，A的坐標(biāo)就可以求得OB，OA的長，進而求的OC，OD的長，則C，D，B的坐標(biāo)就可以求出來．根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）已知拋物線的解析式，就可以求出P的坐標(biāo)，S_△PAB=S_{四邊形PAOB}-S_△AOB=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB就可以求出△PAB的面積．
（3）△MBC的底邊BC的長度易得，BC邊上的高線長就是M的縱坐標(biāo)的絕對值，設(shè)M的縱坐標(biāo)是y，根據(jù)三角形的面積公式就可以得到一個關(guān)于y的方程，求出y的值，即得到函數(shù)的縱坐標(biāo)，就可以求出函數(shù)的橫坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意知C（-2，0），D（0，4）
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c
當(dāng)x=0時，y=4，
∴c=4
4a-2b+4=0解之，
得a=-
16a+4b+4=0，
把a=-代入，解得b=1
∴y=-x²+x+4．（5分）

（2）y=-（x-1）²+4
∴P（1，4）
連接PA、PB，作PE⊥y軸于E
則S_△PAB=S_{四邊形PAOB}-S_△AOB
=S_{四邊形PEOB}-S_△PEA-S_△AOB
=6．（5分）

（3）設(shè)存在M點，其坐標(biāo)為M（x，y）
則|y|×6=6，
∴y=±2
當(dāng)y=2時，-x²+x+4=2，
解之，得x₁=1+，x₂=1-
當(dāng)y=-2時，-x²+x+4=-2，
解之，得x₁=1+，x₂=1-
故存在點M，使△MBC的面積等于△PAB的面積，其坐標(biāo)為：
M₁（1+，2），M₂（1-，2），
M₃（1+，-2），M₄（1-，-2）．（4分）
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是二次函數(shù)與三角形的面積的綜合題．