Question

如圖所示，△ABC中，已知∠BAC等于45度，AD⊥BC于D，BD等于3，DC等于2，求AD的長．小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換巧妙地解答了此題．
請按照小萍的思路探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為G、F，延長GB、FC相交于H點，證明四邊形AGHF是正方形；
（2）設(shè)AD等于x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出X的值．
小萍是這樣思考的：由折疊得：AG=

 

，AF=

 

 然后利用勾股定理就可以求出x的值了．請你寫出后面的推理過程．

Answer 1

考點：勾股定理,正方形的判定,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）先根據(jù)△ABD≌△ABG，△ACD≌△ACF，得出∠GAF=90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AG=AF，從而說明四邊形AGHF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABG，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠GAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠GAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠G=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AG=AD，AF=AD，
∴AG=AF．
∴四邊形AGHF是正方形；

（2）解：設(shè)AD=x，則AG=HG=HF=x，
∵BD=3，DC=2，
∴BG=3，CF=2．
∴BH=x-3，CH=x-2．
在Rt△BHC中，BH²+CH²=BC²
∴（x-3）²+（x-3）²=5²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，化簡得，x²-5x-6=0．
解得x₁=6，x₂=-1（舍），
所以AD=x=6．
故答案為：AD，AD．

點評：本題考查了圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型的解題思想．要能靈活運用．