【題目】如圖所示,矩形中,,,點在上,.動點、分別從點、同時出發(fā),沿射線、線段向點的方向運動(點可運動到的延長線上),當(dāng)動點運動到點時,、兩點同時停止運動.聯(lián)結(jié)、、,過三邊的中點作.設(shè)動點、的速度都是1個單位/秒,、運動的時間為秒.試解答下列問題:
(1)說明;
(2)設(shè),試問為何值時,為直角三角形?
(3)試用含的代數(shù)式表示,并求當(dāng)為何值時,最。壳蟠藭r的值.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)或時,為直角三角形;(3)當(dāng)時, 的值最小,;當(dāng)時,的值也最小,.
【解析】
(1)由根據(jù)題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點,可得PW是△FMN的中位線,然后即可證明△FMN∽△QWP;
(2)由(1)得,△FMN∽△QWP,當(dāng)△QWP為直角三角形時,△FMN為直角三角形,根據(jù)DM=BN=x,AN=6x,AM=4x,利用勾股定理求得FM2=4+x2,MN2=(4x)2+(6x)2,FN2=(4x)2+16,然后分①當(dāng)MN2=FM2+FN2時,②當(dāng)FN2=FM2+MN2時,③FM2=MN2+FN2時三種情況討論即可.
(3)根據(jù)①當(dāng)0≤x≤4,即M從D到A運動時,MN≥AN,AN=6x,故只有當(dāng)x=4時,MN的值最小即可求得答案,②當(dāng)4<x≤6時,MN2=AM2+AN2=(x4)2+(6x)2,解得x即可.
(1)由題意可知、、分別是三邊的中點,
是的中位線,即,
同理,.
,
同理,.
(2)由(1)得,,
故當(dāng)為直角三角形時,為直角三角形,
反之亦然.
由題意可得,,,
由勾股定理分別得,,.
過點N作NK⊥CD于K,
∴CK=BN=x,
∵CF=CDDF=62=4,
∴FK=4x,
∴FN2=NK2+FK2=(4x)2+16,
①當(dāng)MN2=FM2+FN2時,(4x)2+(6x)2=4+x2+(4x)2+16,
解得x=,
②當(dāng)時,,
此方程無實數(shù)根.
③時,,
解得(不合題意,舍去),
綜上,當(dāng)或時,為直角三角形
(3)①當(dāng),即從到運動時,,,
故只有當(dāng)時,的最小值,的值也最小,
此時,;
②當(dāng)時,,
當(dāng),取得最小值2,
當(dāng)時,的值最小,此時.
綜上:當(dāng)時, 的值最小,;當(dāng)時,的值也最小,.
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【題目】如圖,點是中邊的中點,于,以為直徑的經(jīng)過,連接,有下列結(jié)論:①;②;③;④是的切線.其中正確的結(jié)論是( )
A.①②B.①②③C.②③D.①②③④
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【題目】為吸引市民組團去風(fēng)景區(qū)旅游,觀光旅行社推出了如下收費標(biāo)準(zhǔn):
某單位員工去風(fēng)景區(qū)旅游,共支付給旅行社旅游費用10500元,請問該單位這次共有多少員工去風(fēng)景區(qū)旅游?
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【題目】如圖,C地在B地的正東方向,因有大山阻隔,由B地到C地需繞行A地,已知A地位于B地北偏東53°方向,距離B地516千米,C地位于A地南偏東45°方向.現(xiàn)打算打通穿山隧道,建成兩地直達高鐵,求建成高鐵后從B地前往C地的路程.(結(jié)果精確到1千米)(參考數(shù)據(jù):sin53°=,cos53°=,tan53°=)
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點D在AC邊上,將△BCD繞點C旋轉(zhuǎn)得到△ACE.
(1)求證:DE∥BC.
(2)若AB=8,BD=7,求△ADE的周長.
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【題目】如圖1,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,連接CB,過C作CD⊥AB于點D,過點C作∠BCE,使∠BCE=∠BCD,其中CE交AB的延長線于點E.
(1)求證:CE是⊙O的切線.
(2)如圖2,點F在⊙O上,且滿足∠FCE=2∠ABC,連接AF井延長交EC的延長線于點G.
①試探究線段CF與CD之間滿足的數(shù)量關(guān)系;
②若CD=4,BD=2,求線段FG的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙0上的一點,直線MN經(jīng)過點C,過點A作直線MN的垂線,垂足為點D,且∠BAC=∠DAC
(1)猜想直線MN與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若CD=6,cos∠ACD=,求⊙O的半徑.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G,連接AG交CD于K.
(1)如圖1,求證:KE=GE;
(2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=∠ACH,求證:CA∥FE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接CG交AB于點N,若sinE=,AK=,求CN的長.
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【題目】直線與x軸、y軸分別交于點A、B,拋物線經(jīng)過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C,若拋物線與線段BC恰有一個公共點,則的取值范圍是____.
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