Question

【題目】已知，如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．

（1）當t為何值時，CP=OD？

（2）當△OPD為等腰三角形時，寫出點P的坐標（請直接寫出答案，不必寫過程）．

（3）在線段PB上是否存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）（2，4），（2.5， 4），（3，4），（8， 4）；（3）（8，4）.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得：OD=5，由CP=t=OD=5即可求得t的值；

（2）結(jié)合圖形分：OP=DP、OP=OD和PD=OD三種情況分別討論解答即可；

（3）由四邊形ODQP是菱形可知：OP=OD=5，從而可求出點P此時的坐標，再由PQ=OD=5即可求得點Q的坐標.

試題解析：

（1）∵點A的坐標為（10，0），

∴OA=10，

∵點D是OA的中點,

∴OD=5，

又∵CP=t=OD=5，

∴t=5；

（2）點C的坐標為（0，4），CB∥軸，點P在CB上運動，

∴點P的縱坐標為4.

△OPD為等腰三角形，存在以下三種情況：

I、當OP=DP時，點P在線段OD的垂直平分線上，

∴此時CP=t=OD=2.5，

∴此時點P的坐標為（2.5，4）；

II、當OP=OD=5時，

在Rt△OPC中，由勾股定理可得：CP=，

∴此時點P的坐標為（3，4）；

III、當PD=OD=5時，如圖3，存在以下兩種情況：

過點D作DE⊥BC于點E，則DE=OC=4，CE=OD=5，

在Rt△P1DE中，∵P1D=OD=5，

∴P1E=，

∴CP1=CE-P1E=2，即此時點P1的坐標為（2，4）；

同理可得：點P2的坐標為（8，4）；

綜上所述，當△OPD為等腰三角形時，點P的坐標為（2，4）、（2.5，4）、（3，4）和（8，4）；

（3）如圖4，∵四邊形ODQP是菱形，

∴OP=OD=PQ=5，

由（2）可知，當OP=5時，CP=3，

∴CQ=CP+PQ=8，

又∵點P在線段CB上，

∴點Q的坐標為（8，4）.