【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,點E是AB邊上一點(點E不與點A、B重合),DE的延長線交⊙O于點G,DF⊥DG,且交BC于點F.

(1)求證:AE=BF;

(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;

(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形,求出∠A與∠C的度數(shù),根據(jù)AB為圓的直徑,利用圓周角定理得到∠ADB為直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到AD=DC=BD=AC,進而確定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等,利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等,得到ED=FD,進而得到三角形DEF為等腰直角三角形,利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等,利用同位角相等兩直線平行即可得證;(3)由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的長,利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長,利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的長,由GE+ED求出GD的長即可.

試題解析:(1)證明:連接BD,

在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,

∴∠A=∠C=45°,

∵AB為圓O的直徑,

∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,

∴AD=DC=BD=AC,∠CBD=∠C=45°,

∴∠A=∠FBD,

∵DF⊥DG,

∴∠FDG=90°,

∴∠FDB+∠BDG=90°,

∵∠EDA+∠BDG=90°,

∴∠EDA=∠FDB,

在△AED和△BFD中,

∴△AED≌△BFD(ASA),

∴AE=BF;

(2)證明:連接EF,BG,

∵△AED≌△BFD,

∴DE=DF,

∵∠EDF=90°,

∴△EDF是等腰直角三角形,

∴∠DEF=45°,

∵∠G=∠A=45°,

∴∠G=∠DEF,

∴GB∥EF;

(3)∵AE=BF,AE=1,

∴BF=1,

在Rt△EBF中,∠EBF=90°,

∴根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2,

∵EB=2,BF=1,

∴EF==,

∵△DEF為等腰直角三角形,∠EDF=90°,

∴cos∠DEF=,

∵EF=

∴DE=×=,

∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,

∴△GEB∽△AED,

=,即GEED=AEEB,

GE=2,即GE=,

則GD=GE+ED=

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