【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣4,0)、B(﹣l,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是第三象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△ACD的面積為量求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,并確定m為何值時(shí)S有最大值,最大值是多少?
(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn)P使得∠APC=90°?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2+x+3;(2)m為﹣2時(shí)S有最大值,最大值是6(3)P的坐標(biāo)為(﹣, )或(﹣, )
【解析】試題分析:(1)、將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;(2)、首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)解析式,過(guò)點(diǎn)D D作DE∥y軸,交AC于點(diǎn)E,設(shè)出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo),然后求出DE的長(zhǎng)度,根據(jù)面積的計(jì)算公式得出面積的二次函數(shù)解析式,從而得出面積的最大值;(3)、以AC為直徑作圓交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于P,根據(jù)點(diǎn)A 和點(diǎn)C的坐標(biāo)得出中點(diǎn)的坐標(biāo),求出AC和OP的長(zhǎng)度,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,y),然后根據(jù)勾股定理求出y的值,得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)、將A(﹣4,0)、B(﹣l,0)代入y=ax2+bx+3得:,
解得, 故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+x+3;
(2)、令x=0,則y=3, ∴C(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n, 代入A(﹣4,0)、C(0,3)得, 解得
∴AC的解析式為y=x+3;
過(guò)D作DE∥y軸,交AC于點(diǎn)E,設(shè)D(m, m2+m+3),E(m, m+3)(﹣4<m<﹣1), 則DE=m+3﹣(m2+m+3), ∴DE=﹣m2﹣3m,
∴S=DE×4=2(﹣m2﹣3m)=﹣m2﹣6m=﹣(m+2)2+6,
∴m=﹣2時(shí),S最大=6; 故m為﹣2時(shí)S有最大值,最大值是6.
(3)、存在點(diǎn)P使得∠APC=90°, 以AC為直徑作圓交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于P,
∵A(﹣4,0)、C(0,3), ∴AC的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為(﹣2,),AC==5,
∴OP==, ∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣4,0)、B(﹣l,0)兩點(diǎn),
∴對(duì)稱(chēng)軸x==﹣, 設(shè)P(﹣,y), ∴OP2=()2,
即(﹣2+)2+(﹣y)2=()2, 解得y=±,
∴P的坐標(biāo)為(﹣,)或(﹣,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題提出
某商店經(jīng)銷(xiāo)《超能陸戰(zhàn)隊(duì)》超萌“小白”(圖1)玩具,“小白”玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)60元.為進(jìn)行促銷(xiāo),商店制定如下“優(yōu)惠”方案:如果一次銷(xiāo)售數(shù)量不超過(guò)10個(gè),則銷(xiāo)售單價(jià)為100元/個(gè);如果一次銷(xiāo)售數(shù)量超過(guò)10個(gè),每增加一個(gè),所有“小白”玩具銷(xiāo)售單價(jià)降低1元/個(gè),但單價(jià)不得低于80元/個(gè).一次銷(xiāo)售“小白”玩具的單價(jià)y(元/個(gè))與銷(xiāo)售數(shù)量x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)求m的值并解釋射線BC所表示的實(shí)際意義;
(2)寫(xiě)出該店當(dāng)一次銷(xiāo)售x個(gè)時(shí),所獲利潤(rùn)w(元)與x(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)店長(zhǎng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的銷(xiāo)售發(fā)現(xiàn):即并不是銷(xiāo)量越大利潤(rùn)越大(比如,賣(mài)25個(gè)賺的錢(qián)反而比賣(mài)30個(gè)賺的錢(qián)多).為了不出現(xiàn)這種現(xiàn)象,在其他條件不變的情況下,店長(zhǎng)應(yīng)把原來(lái)的最低單價(jià)80(元/個(gè))至少提高到多少元/個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點(diǎn),把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,則P′A∶PB=( )
A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=2.Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到的,求線段 B′C的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開(kāi)展“我最喜愛(ài)的一項(xiàng)體育活動(dòng)”調(diào)查,要求每名學(xué)生必選且只能選一項(xiàng),現(xiàn)隨機(jī)抽查了m名學(xué)生,并將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖.
請(qǐng)結(jié)合以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)m= ;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在圖2中,“乒乓球”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)已知該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校約有 名學(xué)生最喜愛(ài)足球活動(dòng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小偉遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度數(shù).
小偉是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C,連接PP′,得到兩個(gè)特殊的三角形,從而將問(wèn)題解決.
請(qǐng)你回答:圖1中∠APB的度數(shù)等于 .
參考小偉同學(xué)思考問(wèn)題的方法,解決下列問(wèn)題:
(1)如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,PB=1,PD=,則∠APB的度數(shù)等于 ,正方形的邊長(zhǎng)為 ;
(2)如圖4,在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=1,PF=,則∠APB的度數(shù)等于 ,正六邊形的邊長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y1=a(x+2)2﹣3與y2=(x﹣3)2+1交于點(diǎn)A(1,3),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于點(diǎn)B,C.則以下結(jié)論:
①無(wú)論x取何值,y2的值總是正數(shù);
②a=1;
③當(dāng)x=0時(shí),y2﹣y1=4;
④2AB=3AC;
其中正確結(jié)論是( 。
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,P為邊AB上一點(diǎn).
(1)如圖l,若∠ACP=∠B,求證:AC2 =AP·AB;
(2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2,如圖2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/span>
(1)x2﹣x﹣1=0;
(2)x2﹣2x=2x+1;
(3)x(x﹣2)﹣3x2=﹣1;
(4)(x+3)2=(1﹣2x)2.
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