Question

如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．
（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)∠C=90°時，求證：△ABC與△DCF的面積相等．
（2）引申：如果∠C≠90°時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）運用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當(dāng)∠C=

 

度時，圖中陰影部分的面積和有最大值是

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）因為AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；
（2）延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．
于是AP=DQ．又因為S_△ABC=

1

2

BC•AP，S_△DFC=

1

2

FC•DQ，所以S_△ABC=S_△DFC；
（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．所以S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

解答：（1）證明：在△ABC與△DFC中，
∵

AC=DC ∠ACB=∠DCF BC=FC

，
∴△ABC≌△DFC．
∴△ABC與△DFC的面積相等；

（2）解：成立．理由如下：
如圖，延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．
∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，
∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠DCQ．
∴

∠APC=∠DQC ∠ACP=∠DCQ AC=CD

，
△APC≌△DQC（AAS），
∴AP=DQ．
又∵S_△ABC=

1

2

BC•AP，S_△DFC=

1

2

FC•DQ，
∴S_△ABC=S_△DFC；    
     
（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，
若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，
∴當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．
∴S_{陰影部分面積和}=3S_△ABC=3×

1

2

×3×4=18．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．綜合性較強．