Question

在△ABC中，∠ACB=90°，經(jīng)過點C的⊙O與斜邊AB相切于點P．
（1）如圖①，當點O在AC上時，試說明2∠ACP=∠B；
（2）如圖②，AC=8，BC=6，當點O在△ABC外部時，求CP長的取值范圍．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)BC與AC垂直得到BC與圓相切，再由AB與圓O相切于點P，利用切線長定理得到BC=BP，利用等邊對等角得到一對角相等，再由∠ACP+∠BCP=90°，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)AC與BC垂直，得到AC與圓O相切，連接OP，AO，再由AB與圓O相切，得到OP垂直于AB，設(shè)OC=x，則OP=x，OB=BC-OC=6-x，求出PB的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AO的長，根據(jù)AC=AP，OC=OP，得到AO垂直平分CP，根據(jù)面積法求出CP的長，由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，即可確定出CP的范圍．

解答：解：（1）當點O在AC上時，OC為⊙O的半徑，
∵BC⊥OC，且點C在⊙O上，
∴BC與⊙O相切．
∵⊙O與AB邊相切于點P，
∴BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=

180°-∠B

2

，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-

180°-∠B

2

=

1

2

∠B．
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=

AC2+BC2

=10，
如圖，當點O在CB上時，OC為⊙O的半徑，
∵AC⊥OC，且點C在⊙O上，
∴AC與⊙O相切，
連接OP、AO，
∵⊙O與AB邊相切于點P，
∴OP⊥AB，
設(shè)OC=x，則OP=x，OB=BC-OC=6-x，
∵AC=AP，
∴PB=AB-AP=2，
在△OPB中，∠OPB=90°，
根據(jù)勾股定理得：OP²+BP²=OB²，即x²+2²=（6-x）²，
解得：x=

8

3

，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC²+OC²=AO²，
∴AO=

AC2+OC2

=

8

3

10

．
∵AC=AP，OC=OP，
∴AO垂直平分CP，
∴根據(jù)面積法得：CP=2×

AC•OC

AO

=

16 10

5

，
由題意可知，當點P與點A重合時，CP最長，
綜上，當點O在△ABC外時，

16 10

5

＜CP≤8．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，切線定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．