如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點(diǎn),AC是⊙O的直徑,AC、PB的延長線相較于點(diǎn)D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度數(shù).
(2)當(dāng)∠1為多少度時(shí),OP=OD,并說明理由.
考點(diǎn):切線的性質(zhì)
專題:
分析:(1)易證∠PAO=90°和∠PAB=∠PBA,即可求得∠APB的值,即可解題;
(2)易證∠D=∠OPD,PA=PB,即可證明△POA≌△POB,可得∠APO=∠OPD即可求得∠APD=2∠D,即可求得∠D的值,即可判定△PAB為等邊三角形,即可求得∠1的大小,即可解題.
解答:解:(1)∵AC是直徑,PA、PB是圓的切線
∴PA=PB,OA⊥PA,即∠PAO=90°,
∴∠PAB=∠PBA,
∵∠1=20°,
∴∠PAB=70°,
∴∠PBA=∠PAB=70°,
∴∠APB=180°-∠PBA-∠PAB=40°;
(2)∵OP=OD,
∴∠D=∠OPD,
∵AC是直徑,PA、PB是圓的切線,
∴PA=PB,OA⊥PA,即∠PAO=90°,
在△POA和△POB中,
PA=PB
OA=OB
OP=OP
,
∴△POA≌△POB,(SSS)
∴∠APO=∠OPD=∠D=
1
2
∠APD,即∠APD=2∠D,
∵RT△ADP中:∠APB+∠D=90°,
∴2∠D+∠D=90°,即∠D=30°,
∴∠APD=60°,
∴△APB是等邊三角形,
∴∠PAB=60°,
∴∠1=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),考查了切線的性質(zhì),本題中求證△POA≌△POB是解題的關(guān)鍵.
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