【題目】如圖，已知RtΔABC,∠C=90°，D為BC的中點(diǎn).以AC為直徑的圓O交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：DE是圓O的切線.

(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】：

試題分析：利用思路：知（連）半徑，證垂直，證明DE是圓O的切線；利用射影定理或相似三角形證明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的長.

試題解析：(1)如圖所示，連接OE，CE

∵AC是圓O的直徑

∴∠AEC=∠BEC=90°

∵D是BC的中點(diǎn)

∴ED＝BC＝DC

∴∠1=∠2

∵OE=OC

∴∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD

∵∠ACD=90°

∴∠OED=90°,即OE⊥DE

又∵E是圓O上的一點(diǎn)

∴DE是圓O的切線.

（2）由（1）知∠BEC=90°

在RtΔBEC與RtΔBCA中，∠B為公共角，

∴ΔBEC∽ΔBCA

∴

即BC2=BE×BA

∵AE:EB=1：2，設(shè)AE=x，則BE＝2x，BA=3x.

又∵BC=6

∴62=2x×3x

∴x=,即AE=.

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