Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．

操作發(fā)現(xiàn)

（1）將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，分別延長BC和DC′交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是 ；

（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=2∠BAC，得到如圖3所示的△AC′D，連接DB，C′C，得到四邊形BCC′D，發(fā)現(xiàn)它是矩形，請你證明這個結(jié)論；

實踐探究

（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一個問題：將△AC′D沿著射線DB方向平移acm，得到△A′C′D′，連接BD′，CC′，使四邊形BCC′D恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；

（4）請你參照以上操作，將圖1中的△ACD在同一平面內(nèi)進行一次平移，得到△A′C′D，在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）證明見解析；（3）或；（4）答案見解析．

【解析】（1）如圖2，由題意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，則四邊形ACEC′是平行四邊形，故四邊形ACEC′的形狀是菱形；

故答案為：菱形；

（2）證明：如圖3，作AE⊥CC′于點E，由旋轉(zhuǎn)得：AC′=AC，則∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，則∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四邊形BCC′D是平行四邊形，∵∠BCC′=90°，∴四邊形BCC′D是矩形；

（3）如圖3，過點B作BF⊥AC，垂足為F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴，即，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，當四邊形BCC′D′恰好為正方形時，分兩種情況：

①點C″在邊C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=；

②點C″在C′C的延長線上，a=C′C+13=+13=．

綜上所述：a的值為：或；

（4）答案不唯一，例：如圖4，畫出正確圖形，平移及構(gòu)圖方法：將△ACD沿著射線CA方向平移，平移距離為AC的長度，得到△A′C′D′，連接A′B，D′C，結(jié)論：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四邊形A′BCD′是平行四邊形．