Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c與一次函數(shù)y=

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x+m經(jīng)過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4），過A點做x軸的平行線交拋物線于D點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接DC，AC，試在拋物線上找出點P，使得7S_△ACD=S_△PAD；
（3）直線y=

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x+m與對稱軸交于B點，試在直線AD上找出一點E，使得E到B點的長度和到直線y=

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x+m的距離之和最短．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4）列出關(guān)于a、b、c的方程組，求出a、b、c的值即可得出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)拋物線的頂點坐標為（1，4），故可得出D點坐標，由于拋物線的頂點坐標為（1，4），所以P點必在x軸的下方，設(shè)P點坐標為（x，-x²+2x+3），則-x²+2x+3＜0，再根據(jù)7S_△ACD=S_△PAD求出x的值即可；
（3）把點A（0，3）代入直線y=

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x+m求出m的值，故可得出直線的解析式，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，過點B′作直線y=

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x+m的垂線交直線AD于點E，根據(jù)互相垂直的兩條直線斜率的積等于1求出直線B′E的解析式，故可得出E點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（0，3），且拋物線的頂點坐標為C（1，4），
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x軸，
∴D（2，3），
∴CF=1，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），
∵點C是拋物線的頂點坐標，
∴點P必在x軸下方，
∵△ACD與△PAD同底，7S_△ACD=S_△PAD，
∴-（-x²+2x+3）=7-3=4，解得x=1±2

2

，
∴P（1+2

2

，-4）或（1-2

2

，-4）；

（3）∵點A（0，3）在直線y=

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x+m上，
∴m=3，
∴直線y=

3

3

x+m的解析式為y=

3

3

x+3，
∵C（1，4），
∴直線CF的解析式為x=1，
∴B（1，

3

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+3），
如圖2，作點B關(guān)于AD的對稱點B′，過點B′作直線y=

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3

x+m的垂線交直線AD于點E，則E點即為所求，
∵直線B′E⊥AB，
∴設(shè)直線B′E的解析式為y=-

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x+b，
∵點B與點B′關(guān)于直線AD對稱，AD∥x軸，AD的解析式為y=3，
∴B′（1，3-

3

3

），
∴3-

3

3

=-

3

+b，解得b=3+

2 3

3

，
∴直線B′E的解析式為y=-

3

x+3+

2 3

3

，
∴當y=3時，x=

2

3

，
∴E（

2

3

，3）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．